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現(xiàn)值、終值、年金是什么意思？公式如何計算？ – 認(rèn)識貨幣時間價值 現(xiàn)值、終值、年金，是進(jìn)行貨幣時間價值時會使用到的名詞。 由于利率的影響，今天的100元和一年后的100元，兩者價值實際上并不相等，只有透過利率(折現(xiàn)率)將數(shù)字調(diào)整到同樣時間點之后，才能夠互相比較。 其中現(xiàn)值代表的是現(xiàn)在的價值，終值則是未來最后一期的價值，年金則是每隔相同的時間，收到或付出一筆固定金額的錢。 在金融投資里面，只要涉及長時間的資產(chǎn)價值評估，例如你要評估一間企業(yè)的價值對它做估價，或者評估某項投資的回報好壞，都必須要考慮時間帶來的影響，其中的計算就會使用到現(xiàn)值、終值、年金、折現(xiàn)率的概念。 關(guān)于折現(xiàn)率，會在下一篇文章做教學(xué)，這篇野豬先生介紹現(xiàn)值、終值、年金，分為以下幾個部分： 1. 現(xiàn)值(Present Value)是什么意思、如何計算？ 2. 終值(Future Value)是什么意思、如何計算？ 3. 年金(Annuity)是什么意思、如何計算？ 4. 現(xiàn)值、終值、年金 應(yīng)用與注意事項 5. 現(xiàn)值、終值、年金EXCEL計算工具 現(xiàn)值(Present Value)是什么意思？ 現(xiàn)值(Present Value)：未來的所有現(xiàn)金流，價值等于今天多少錢？ 現(xiàn)值(Present Value ，簡稱 PV) 是指未來的貨幣在今日的價值，也就是說未來一筆金額，經(jīng)過一段時間 折現(xiàn)(Discount)后，算出的現(xiàn)在貨幣價值，白話來說就是未來的1元等于今天多少錢。 其中，折現(xiàn)指的是考慮金錢的時間價值與機(jī)會成本，例如有個朋友跟你借100元，那么他明天就還你100元，與10年后才還你100元，兩者雖然都是100元，但價值并不會相等，因為如果你今天就立刻拿到100元，可以把它放銀行或投資，會得到利息或投資收益，最終10年后得到的價值會超過100元，而考慮到時間帶來的差異，所用的調(diào)整利率，就稱為折現(xiàn)率。 現(xiàn)值計算公式？ 現(xiàn)值PV = 終值(FV) ÷(1+利率%)^期數(shù) = FV ÷ ( 1 + r )n 利率通常簡寫為 r 或 i ，期數(shù)通常用n期表示，(在金融領(lǐng)域里面1期通常是1年，如果不是1年通常會將利率調(diào)整為1年)單筆現(xiàn)值指一筆存款的現(xiàn)在價值，計算方法是將一項投資預(yù)期的未來現(xiàn)金流復(fù)利折現(xiàn)到現(xiàn)在的價值，投資人計算時需要知道3個項目： · 每一期預(yù)期的現(xiàn)金流 · 支付現(xiàn)金流的年數(shù)(第幾期支付) · 折現(xiàn)/貼現(xiàn)率(利率) 用來計算現(xiàn)值的利率被稱為折現(xiàn)/貼現(xiàn)率，這是影響現(xiàn)值的重要因素，折現(xiàn)/貼現(xiàn)率越高、現(xiàn)值越低；折現(xiàn)/貼現(xiàn)率越低、現(xiàn)值越高。 單筆現(xiàn)金流，現(xiàn)值如何計算？ 假設(shè)你今天以2%的年利率，在一個儲蓄賬戶中投資1,000元，那么在一年結(jié)束時，它將價值1,020元(1,000元 × 1.02)，包含1000元的本金與20元的利息。 我們可以說：未來一年后 1,020元 ，在2%折現(xiàn)率之下，它的現(xiàn)值是1,000元。 現(xiàn)值可以幫你計算，在每年固定報酬率(%)的計算下，你現(xiàn)在該投資多少錢，才能存到未來的目標(biāo)金額。 舉例來說： 假設(shè)你今天以5%的年利率投資，想在1年后獲得1020元，現(xiàn)在該存多少錢？ 計算結(jié)果：1,020 ÷(1+5%)^1 = 971.43元，也就是說需要存971.43元，以5%的利率計算，1年后才能獲得1020元。 多筆現(xiàn)金流，現(xiàn)值如何計算？ 上面這是比較簡單的例子，因為未來只有一年，意思是只有一筆現(xiàn)金流 (拿回1000元和利息20元)，因為只有一筆，也可以把它視為終值。 不過一般現(xiàn)值的運算，可能遇到的是未來有數(shù)年的現(xiàn)金流，例如說預(yù)計第一年收到500元、第二年收到800元、第三年收到1000元，算法也很簡單，就是把未來每一期的現(xiàn)金流數(shù)字分別折現(xiàn)到現(xiàn)在算出現(xiàn)值，再做加總，算出來的就是這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值。 現(xiàn)值PV = 各期現(xiàn)金流的現(xiàn)值 加總 各期現(xiàn)金流現(xiàn)值 = 各期現(xiàn)金流 ÷(1+利率%)^期數(shù) 補(bǔ)充：現(xiàn)殖利率因子 PVIF 計算時的期數(shù)(n)，通常是一個復(fù)利期間，而公式里的(1+利率%)也被稱為現(xiàn)值利率因子，表示不同的利率(r或i)與期數(shù)(n)所求得到現(xiàn)值利率因子，英文公式會簡寫為 (PVIF r, n)。 現(xiàn)殖利率因子 PVIF = 1 ÷( 1 + r )n 根據(jù)n的不同，這因子會是一個數(shù)字。 例如r=5%、n=4時，PVIF=0.823 意思是，你把任意發(fā)生在第四期的金額(例如100元)，乘上這個因子的數(shù)字(例如100元×0.823=82.3元)，就可以得100元的折現(xiàn)結(jié)果是82.3元， 你在書上會看到內(nèi)容提到現(xiàn)值因子、終值因子等等，算是比較早年的作法，因為公元2000年以前計算機(jī)其實還不普及，用計算機(jī)來算也很麻煩，把這些因子先算好、數(shù)字記錄下來，以后要計算時就方便很多。 現(xiàn)在由于有EXCEL，所以計算很簡單，這類因子大概只剩下學(xué)校考試時會用到，通常會提供一張表格，是一種簡化計算的概念。 為什么要算現(xiàn)值、終值？ 因為金錢的價值，只有在相同時間點才能互相做比較。 現(xiàn)值考慮到了投資可能獲得的任何利率，因此認(rèn)為同樣金額的錢，今天的100元會比未來的100元更值錢，因為投資人可以把今天的100元拿去投資，并預(yù)測在未來5年內(nèi)獲得的報酬率，也就是說今天的100元，會比未來的100元更有價值。 了解到金錢在不同時間價值不同時，如果我們想要做比較，必須把時間點換到同一時間才能比較。 例如，今天的100元和10年后的140元，到底誰好誰壞？ 例如，你立刻拿到1500元，跟未來3年陸續(xù)拿到450元，到哪個比較好？ 你會發(fā)現(xiàn)，這些都不能直接比，至少你沒辦法一眼判斷出它的好壞。 但如果你可以把10年后的140元折現(xiàn)到今天算出現(xiàn)值PV，就能和今天的100元做比較。 同理，你也可以把今天的100元折線到未來10年后，算出10年后終值FV，就能和10年后的140元做比較。 這種將未來現(xiàn)金流轉(zhuǎn)換成現(xiàn)值，或者現(xiàn)金流轉(zhuǎn)換到未來的過程，就稱為折現(xiàn)(貼現(xiàn))， PV現(xiàn)值與折現(xiàn)率、時間的關(guān)系 · 從下圖可以得知，利率越高，現(xiàn)值下降得越快。 · 離到期日(期數(shù)n)越遠(yuǎn)，現(xiàn)值就越低(逐漸接近于0零)。 折現(xiàn)率越高，時間帶來的貶值就越大、未來的現(xiàn)金流就越不值錢。 例如你錢存銀行，假設(shè)利息只有1%，那10年后可能和現(xiàn)在不會多太多，同理10年后的錢折現(xiàn)到今天，也不會貶損太多。 但錢存銀行如果利息有10%，那10年后會差很多，反過來10年后的錢折現(xiàn)到今天，就會貶損很多、沒那么有價值。 而時間越遠(yuǎn)，價值必然越低，如果距今幾百年后才能拿到的一筆金額，即使是一筆巨款，可能它的現(xiàn)值也沒想象中的大。 終值(Future Value)是什么意思？ 終值(Future Value)：過去的所有現(xiàn)金流，在未來某一期價值多少錢 終值(Future Value ,簡稱 FV)也就是未來價值，它決定了時間對金錢的影響。 簡單來說，終值就是指今天投資的一筆錢，隨著時間的流逝，在一定的利率復(fù)利計算下會變成多少錢。 終值的概念，比現(xiàn)值PV來的直覺很多，例如我們常常談的投資復(fù)利，投資數(shù)年后最后能拿到的錢，指的就是終值FV。 終值計算公式？ 終值(FV) = 現(xiàn)值(PV) ×(1+利率%)^期數(shù) = PV × ( 1 + r )n 期數(shù) = 經(jīng)過n期到最后一期 利率通常簡寫為 r 或 i ，期數(shù)通常用n期表示。 在算終值時，我們比較不會稱呼利率為折現(xiàn)率，雖然都同樣是利率、意思一樣，折現(xiàn)率一般只用在計算現(xiàn)值時，對利率的稱呼。 假設(shè)你存一筆1,000元在賬戶中，每年支付10%利息，你持有5年的話，未來價值(終值)計算方式為：1,000 ×(1+10%)^5 =1,610.51元 單筆終值計算范例 如果你今天在一個儲蓄賬戶中投資1,000元，年利率為2%，那么投資一年后，它的價值變成1,020元，也就是說終值(未來價值)是1,020元。 那么如果投資2年會發(fā)生什么事？1,000元會變成1044元，第一年你賺了20元，但第二年卻賺了24元，這額外的4元是第一年年底賺取20元的2%報酬，而這個賺取利息的過程被稱為復(fù)利，它對投資的未來價值有強(qiáng)大影響力。 多筆現(xiàn)金流 終值計算范例 舉例，有個投資最初投入500元、第一年投入400元、第二年投入300元，在利率2%的情況，最終一期第三年可以得到多少？ 將各期現(xiàn)金流分別計算終值，最后加總，就可以得到合計的終值 終值與利率(折現(xiàn)率)、期數(shù)的關(guān)系 當(dāng)利率越高、投資時間越長，1元的未來價值(終值)成長越快。 年金(Annuity)是什么意思？ 年金(Annuity)：每隔相同的時間，收到或付出一筆固定金額的錢。 年金(Annuity)是指在一定時間內(nèi)，定期支出、收入的固定現(xiàn)金流量(Payment, PMT)，白話來說是每隔相同的時間，收到或付出一筆固定金額的錢，象是零存整付、房屋貸款、年金給付…等。 一般人最常用到年金的計算，是計算房貸每期要還多少錢，如果每期金額一樣，這就是一種年金。 其次則是把債券、儲蓄險等年金或利息，換算回現(xiàn)值或終值。 年金的定義： 1. 年金每期的收入或支付金額固定不變。 2. 年金的計算期間內(nèi)，每期現(xiàn)金流量必須持續(xù)不能中斷。 年金計算公式的限制很多，因為只要每一期的錢不一樣，年金公式就不能用了，它只有在現(xiàn)金流一樣時才會用它做計算。 普通年金 vs 期初年金：從第0期開始，還是從第一期開始？ 年金又有普通年金、期初年金的分別，若定期支出、收入發(fā)生于每期的期末，稱為普通年金；若定期支出、收入發(fā)生于期初(第0期)，稱為期初年金。 一般除非有特別說明，否則均指普通年金，由于這會影響到計算結(jié)果，因此計算之前要清楚是哪一種。 1. 普通年金(年末)：年金支出或收入的時間在期末，例如：每月償還的房屋貸款。 2. 期初年金(年初)：年金發(fā)生的時間在期初，也稱為即期年金、到期年金，例如：繳交壽險保險費。 期初年金的現(xiàn)金流會比普通年金早一期，普通年金、期初年金的說明如下圖，普通年金代表支付(收取)的期間在期末；期初年期代表支付(收取)的期間在期初。 年金現(xiàn)值(Prevent Value of Annuity)與年金終值(Future Value of Annuity)計算 通常我們會在已知年金的情況下，來計算現(xiàn)值、終值：例如已知定期定額的投資(年金)，來計算最后可以得到多少(終值)？ 或者在已知現(xiàn)值、終值的情況下，來計算年金：例如借一筆房貸(現(xiàn)值)，計算每期要還多少錢(年金)？ 年金現(xiàn)值的意思，是已經(jīng)知道固定收款金額的未來本利(終值)、利率、計息期數(shù)時，考慮貨幣的時間價值后，計算出這些收付款現(xiàn)在的金額。 年金現(xiàn)值、終值如何計算？ 普通年金現(xiàn)值 = PMT × (PVIFA ,r,n) 期初年金現(xiàn)值 = 普通年金現(xiàn)值 × (1 + r) 普通年金終值 = PMT × (FVIFA r,n) 期初年金終值 = 普通年金終值 × (1 + r) · (PVIFA ,r,n) 年金現(xiàn)值因子= （1 – [1÷(1+r)^n] ）÷ r · (FVIFA r,n)年金終值因子 = （ [(1+r)^n] -1 ）÷ r · PMT = 固定現(xiàn)金流 (每一期多少錢) · r = 利率 · n =期數(shù) 要注意如果年金是期初(第0期)開始算，就要多乘一期 (1+r)。 其中 PVIFA 、FVIFA稱為年金現(xiàn)值因子、年金終值因子，只要知道利率和期數(shù)，就會是一個固定的數(shù)字，會寫成例如象是 (PVIFA 5%,6) ，在學(xué)?？荚嚨臅r候，有時候會給一張表，讓你查這個因子是多少，不過在沒有這種因子表格的時候，就是自己用公式算。 FV其實就是把PV值在乘上 (1+r)n。 一般來說這公式，除了學(xué)?？荚囈酝馐遣挥帽车模瑫肊XCEL算或者需要時再查就好。 但是現(xiàn)值和終值轉(zhuǎn)換這個就很基本，一定要知道怎么算。 年金現(xiàn)值計算例子： 假設(shè)年初存入1,500元，年利率為5%，總共存6年，每年計息一次，該如何得知今年年初的現(xiàn)值？ 先計算普通年金現(xiàn)值 = 1,500 × (PVIFA 5%,6) = 1,500 × 5.0757 =7,613 期初年金現(xiàn)值 = 7,613 × 1.05 = 7,993元 年金終值計算例子： 假設(shè)你在年初存了1,300元，總共存6年、年利率為5%，每年計息1次，那么在第6年年底時終值是多少？ 先計算普通年金終值 = 1,300(FVIFA 5%,6) = 10,202 期初年金終值 = 10,202 × 1.05% = 10,712元 年金如何計算？ 年金PMT = PV ÷ (PVIFA ,r,n) 年金PMT = FV ÷ (FVIFA r,n) · (PVIFA ,r,n) 年金現(xiàn)值因子= （1 – [1÷(1+r)^n] ）÷ r · (FVIFA r,n)年金終值因子 = （ [(1+r)^n] -1 ）÷ r · PMT = 固定現(xiàn)金流 (每一期多少錢) · r = 利率 · n =期數(shù) 野豬提示：現(xiàn)值、終值、年金 應(yīng)用與注意事項 下列幾點觀念在終值、年金計算都是通用的。 1. 用現(xiàn)值來評估估價是否合理？ 現(xiàn)值最大的用意，是幫投資人判斷一項投資支付的價格是否合適，如果算出來的現(xiàn)值低于報酬率，那么這個投資就是不合理的。 例如，你對一檔股票做估價，折現(xiàn)率用你的投資機(jī)會成本5%去估計，假設(shè)考慮到這企業(yè)未來現(xiàn)金流折現(xiàn)后，價值是200元，但現(xiàn)在股價高達(dá)300元，這時就代表你投資時，除非最后實際現(xiàn)金流高出你的預(yù)期，否則最終你如果買在300元，得到的報酬率就會低于5%，也就是不值得投資。 知名的DCF現(xiàn)金流折現(xiàn)估價模型，就是在計算現(xiàn)值PV。 而許多估價方法，如本益比法，其實都是這種折現(xiàn)模型的簡化版本。 可閱讀：現(xiàn)金流折現(xiàn)估價模型DCF是什么？ 2. 折現(xiàn)最重要的問題：折現(xiàn)率該用多少？ 在現(xiàn)值的計算公式中，利率%就是現(xiàn)值的折現(xiàn)/貼現(xiàn)率，也就是用來計算現(xiàn)值的投資報酬率，但計算現(xiàn)值的折現(xiàn)/貼現(xiàn)率其實是非常主觀的，因為它是預(yù)期你把今天的錢投資一段時間后，將會得到的預(yù)期報酬率，換句話說，也就是機(jī)會成本。 機(jī)會成本有非常多種可能，常見的如下： · 無風(fēng)險利率：無風(fēng)險的報酬率常用來當(dāng)折現(xiàn)/貼現(xiàn)率，利率代表了投資或項目需要賺取的報酬率。 假設(shè)2年期公債支付2%的利息或報酬率，投資人的投資標(biāo)的至少需要賺取超過2%的收益才合理。 · 投資的機(jī)會成本：你本身資金有其他選擇，例如你有另一些風(fēng)險類似投資機(jī)會，當(dāng)中最好的至少有5%報酬，5%就是你的機(jī)會成本。 · 風(fēng)險資產(chǎn)定價模型：當(dāng)承擔(dān)不同風(fēng)險時，會根據(jù)無風(fēng)險利率，加上一定程度的承擔(dān)風(fēng)險要求報酬。簡單舉例如無風(fēng)險利率2%，再加上根據(jù)承擔(dān)額外風(fēng)險的要求報酬4%，2%+4%=6%報酬，作為折現(xiàn)率。如果是波動更大、風(fēng)險更高的投資，應(yīng)該要求更高報酬來補(bǔ)償風(fēng)險，例如額外要求報酬8%，折現(xiàn)率用 2%+8%=10%來算。 · WACC加權(quán)資金成本：一般是企業(yè)取得資金的成本，例如銀行或者債券借款利率是6%，投資人要求報酬則是8%，那企業(yè)想做一個投資、取得資金的成本，就是這6%和8%根據(jù)比例加權(quán)出一個權(quán)重(假設(shè)7%)，這7%就是機(jī)會成本，可以做為折現(xiàn)率。 可閱讀：折現(xiàn)率是什么？ 3. 要考慮通膨影響 只要是貨幣，就會受到通貨膨脹影響。 在計算時我們算的通常是用名目利率做計算，也就是不考慮通貨膨脹的利率(折現(xiàn)率)。 實際上算出來后，未來100元的金錢購買力也不會等于今天100元的購買力。 如果要考慮到貨幣購買力，計算時要把使用的利率，再扣掉預(yù)期通貨膨脹減損，這種利率(折現(xiàn)率)稱為實質(zhì)利率。 例如你原本預(yù)期名目利率(折現(xiàn)率)5%，但如果想考慮到通膨2%，實質(zhì)利率就要調(diào)整成 5% – 2% = 3%。 最終用實質(zhì)利率算出來的，就會是考慮跟當(dāng)下貨幣實質(zhì)購買力一樣可比較的結(jié)果。 但一般計算時仍是用名目利率為主，原則上不會用實質(zhì)利率做計算，因為如果用實質(zhì)利率算，這會導(dǎo)致無法與其它的一些沒考慮通膨的數(shù)字做比較，且算出來是購買力，也不是真正得到的金額。 4. 一切都是假設(shè)與估計 無論是未來的現(xiàn)金流，或者折現(xiàn)率，都是一種估計和猜測，并非絕對精準(zhǔn)的計算。 例如，你可以算出一個債券未來利息現(xiàn)金流和償還本金，將年金和終值轉(zhuǎn)換為現(xiàn)值，如此一來可以做出估價，問題是你沒有考慮違約、錢付不出來的狀況？ 野豬在這里再次提醒，不要忘記估計就只是估計。 這也是為什么投資時除了估價法，還要考慮安全邊際，這就是為了錯誤而預(yù)留的空間。 快速重點整理：現(xiàn)值、終值、年金是什么？ 1. 現(xiàn)值是未來的所有現(xiàn)金流，價值等于今天多少錢？ 2. 今天的100元會比未來的100元更值錢，這差異來自于利率與時間，利率在計算時也稱為折現(xiàn)率。 3. 終值是過去的所有現(xiàn)金流，在未來某一期等于多少錢？ 4. 年金是每隔相同的時間，收到或付出一筆固定金額的錢。 5. 年金計算有普通年金、期初年金的分別，若定期支出、收入發(fā)生于每期的期末，稱為普通年金；若定期支出、收入發(fā)生于期初，稱為期初年金。 一般除非有特別說明，否則均指普通年金。計算時要注意年金發(fā)生在哪一期。 野豬心得：整理這篇現(xiàn)值、終值、年金，是因為，最近開始寫到許多涉及金融計算的文章，都會用到這些基礎(chǔ)的計算概念，先寫好一篇，以后才不用每一篇文章都要花很多力氣解釋。 我自己學(xué)到現(xiàn)值、終值、年金、折現(xiàn)等觀念是許多年前在大學(xué)的時候，第一次學(xué)習(xí)的時候里面其實「終值」最直覺，而「現(xiàn)值」相對比較不直覺、較抽象，而年金大多都是計算時使用，真實世界用到年金的情況其實不多，因為許多每年能拿到的現(xiàn)金流，每期的錢可能并不相等，簡化的公式實際運用場景很有限。